cause a problem
What caused all of the electrical problems at the office today?
何で今日会社で、あんな電気の問題が起こったのですか？

make a problem との微妙なニュアンスの違いに注意が必要。
cause a problem は、問題の原因を表わす語句を主語とする。
従って、人以外の現象や出来事、機械などが主語になる場合が多い。

have a problem
I have a problem. I need someone to talk to.
問題があるんです。誰かに相談しなくてはいけません。

「問題がある」と言いたいときに、
There is a problem.
という表現はあまり使われません。

誰(何) にかかわる問題なのかを明確にするため、問題を抱えている当事者を主語にして、「～ have a problem」の形とするのが普通。

make a problem
She really makes problems out of nothing.
彼女は本当にどうでもいいようなことで大騒ぎするんです。

make a problem には二つの意味があり、
一つは「問題視する、問題として取り上げる」という意味で、
もう一つは「問題を起こす」という意味である。

後者の場合は、先に上げた cause a problem とほとんど同義であるが、大抵の場合は人が主語となる。

solve a problem
I don't know how to solve the problem.
どうやってその問題を解決すればいいのかわからない。

solve は「～を解決する、～を解く」という意味の動詞。
solve a problem の形で「試験の問題を解く」という意味を表わすこともある。

cause trouble
He always causes trouble in class.
彼は授業中にしょっちゅう悶着を起こす。

troubleは、基本的に不可算名詞として用いられる語で、「迷惑、厄介ごと」といった意味を表わす。cause trouble は「混乱を引き起こす」というニュアンスの表現で、周囲を騒然とさせるような状況をもたらすことを意味する。

have trouble
Did you have any trouble finding our office?
私達の事務所が見つからなくて、困りませんでしたか？

会話例にあるように、具体的に何に困っているかを動名詞(-ing形) を続けることにより表現する形がよく用いられる。動名詞の直前に in を付けて、have trouble in -ing の形で使われることもある。

make trouble
He always makes trouble.
彼はいつも周りに迷惑をかける。

cause trouble と似ている意味を表わすが、必ずしも「騒ぎを起こす」ということではなく、「人が不快になるようなことをする、人に嫌な思いをさせる」というようなニュアンスの強い表現である。

take trouble
Thank you so much for taking the trouble to explain this new computer to me.
どうもありがとう、わざわざこの新しいパソコンについて説明してくれて。

会話例のように、to 不定詞を続けて take the trouble to do の形として、「苦労して～する、わざわざ～する」の意味を表わすことがよくある。
My mother takes a lot of trouble with her garden.
私の母はずいぶん手間をかけて庭いじりをする。
のように、「with＋名詞」の形をあとに続ける使い方もある。

catch a disease
I'm scared about catching a disease.
病気にかかるんじゃないかと怖いんです。

catch a cold の場合と同じように、この catch は「～に感染する」の意味になる。従って、この表現における disease は「感染症」が示唆される。

have a disease
He has some kind of rare disease.
彼は何か珍しい病気にかかっているようだ。

感染症に限らず一般的な「病気にかかっている」という場合には、この表現を使う。have の代わりに suffer from または be suffering from という表現もよく使われる。